Ejercicio con Método de Multipasos (Adams–Bashforth de 4 pasos (h = 0.2))
Ejercicio 30: Adams–Bashforth de 4 pasos (h = 0.2)
Dada la EDO:
\[y' = y - x^2 + 1, \qquad y(0)=0.5\]Nuestro objetivo es aproximar (y(0.8)) empleando el método explícito de Adams–Bashforth de cuatro pasos (AB‑4) con paso (h = 0.2).
Para iniciar el esquema multipasos se requieren cuatro valores previos, que se obtuvieron aquí con Runge–Kutta de orden 4:
\[\begin{aligned} y(0.0) &= 0.500000,\\ y(0.2) &= 0.829293,\\ y(0.4) &= 1.214076,\\ y(0.6) &= 1.648922. \end{aligned}\]Cálculo de (f_n = f(x_n, y_n) = y_n - x_n^2 + 1)
\[\begin{aligned} f_0 &= 0.500000 - 0^2 + 1 = 1.500000,\\ f_1 &= 0.829293 - 0.2^2 + 1 = 1.789293,\\ f_2 &= 1.214076 - 0.4^2 + 1 = 2.054076,\\ f_3 &= 1.648922 - 0.6^2 + 1 = 2.288922. \end{aligned}\]Paso AB‑4 ((x = 0.6 \;\to\; 0.8))
La fórmula del método es
\[\boxed{\; y_{n+1} = y_n + \frac{h}{24} \bigl(55 f_n - 59 f_{n-1} + 37 f_{n-2} - 9 f_{n-3}\bigr) \;}\]Aplicando con (n = 3):
\[\begin{aligned} y_4 &= y_3 + \tfrac{0.2}{24} \bigl( 55\,f_3 - 59\,f_2 + 37\,f_1 - 9\,f_0 \bigr) \\[6pt] &= 1.648922 + \tfrac{0.2}{24} \bigl( 55(2.288922) - 59(2.054076) + 37(1.789293) - 9(1.500000) \bigr) \\[6pt] &= 1.648922 + 0.2/24 \,(11.422&\text{…}) \\ &\approx 2.127289. \end{aligned}\] \[y(0.8) \;\approx\; 2.127289\]