Método de Taylor para ecuaciones diferenciales.
¡Bienvenidos al Método de Taylor!
Consiste en calcular las derivadas sucesivas de la ecuación diferencial dada, evaluando las derivadas en el punto inicial \(x_0\) y reemplazando el resultado en la serie de Taylor.
La solución por el método de Taylor viene dada por:
\[y(x) = y(x_0) + (x - x_0)y^{(1)}(x_0) + \frac{(x - x_0)^2}{2!}y^{(2)}(x_0)\] \[+ \frac{(x - x_0)^3}{3!}y^{(3)}(x_0) + \dots + \frac{(x - x_0)^n}{n!}y^{(n)}(x_0)\]En forma práctica, si queremos calcular la solución en pasos \(h\) (pasos de integración), usamos:
\[y(x_0 + h) = y(x_0) + h y'(x_0) + \frac{h^2}{2!}y''(x_0) + \frac{h^3}{3!}y'''(x_0)\] \[+ \dots + \frac{h^n}{n!}y^{(n)}(x_0)\]Donde:
- \(h\): Cantidad que se aumentará en cada paso o iteración.
- \(y^{(n)}(x_0)\): Derivadas según el orden que se decida. Cuanto más alto el orden, mayor será la precisión.
Los coeficientes pueden calcularse así:
\[\begin{aligned} y(x_0) &= y_0 \\ y'(x_0) &= f(x_0, y_0) = \frac{dy}{dx} \\ y''(x_0) &= \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} \\ y^{(n)}(x_0) &= \frac{\partial y^{(n-1)}}{\partial x} + \frac{\partial y^{(n-1)}}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} \end{aligned}\]Ejemplo 1.1: Método de Taylor de orden 1 y 2
Dada la EDO:
\[y' = y - x^2 + 1\]Orden 1
Aplicando la serie de Taylor:
\[y_{n+1} = y_n + h y'_n = y_n + h f(x, y)\]Sustituyendo \(f(x, y)\):
\[y_{n+1} = y_n + h (y_n - x^2 + 1)\]Orden 2
El método de Taylor de orden 2 es:
\[y_{n+1} = y_n + h y'_n + \frac{h^2}{2!} y''_n\]Se tiene:
\[f(x, y) = y' = y - x^2 + 1\]Derivadas parciales:
\[\frac{\partial f}{\partial x} = -2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 1\]Entonces:
\[y'' = -2x + (y - x^2 + 1) = y - x^2 - 2x + 1\]Y el método queda como:
\[y_{n+1} = y_n + h \cdot (y_n - x^2 + 1) + \frac{h^2}{2}(y_n - x^2 - 2x + 1)\]Ejemplo 2.2: Método de Taylor de orden 3 (3 iteraciones, h = 0.1)
Dada:
\[y' = x + y, \quad y(0) = 1\]La serie de Taylor es:
\[y_{n+1} = y_n + h y'_n + \frac{h^2}{2!} y''_n + \frac{h^3}{3!} y'''_n\]Derivadas
- \[y' = x + y\]
- \[\frac{\partial f}{\partial x} = 1\]
- \[\frac{\partial f}{\partial y} = 1\]
Entonces:
\[y'' = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot y' = 1 + (x + y)\]Y como \(y''' = \frac{d}{dx}(y'') \approx 1 + (x + y)\) nuevamente (simplificando para este caso), tenemos:
\[y'' = 1 + x + y, \quad y''' = 1 + x + y\]Paso 0 → 1 (x = 0 a x = 0.1)
- \[x_0 = 0, y_0 = 1\]
- \[y' = 1\]
- \[y'' = 2\]
- \[y''' = 2\]
Paso 1 → 2 (x = 0.1 a x = 0.2)
- \[x_1 = 0.1, y_1 = 1.11033\]
- \[y' = 0.1 + 1.11033 = 1.21033\]
- \[y'' = 1 + 0.1 + 1.11033 = 2.21033\]
- \[y''' = 2.21033\]
Paso 2 → 3 (x = 0.2 a x = 0.3)
- \[x_2 = 0.2, y_2 = 1.24278\]
- \[y' = 0.2 + 1.24278 = 1.44278\]
- \[y'' = 1 + 0.2 + 1.24278 = 2.44278\]
- \[y''' = 2.44278\]